ÇARPANLARA AYIRMA Çözümlü Sorular ve Formüller

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)² = a² + 2ab + b²
İki Terim farkının Karesi : (a − b)² = a² − 2ab + b²
Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)
İki Terim Toplamının Küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İki Terim Farkının Küpü : (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
İki Kare Farkı Özdeşliği: a² – b² = (a + b).(a – b)

xⁿ + yⁿ veya xⁿ − yⁿ biçimindeki polinomların Özdeşliği
İki küp Toplamı : a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)
İki küp Farkı : a³ − b³ = (a − b).(a² + ab + b²)

a⁴ + b⁴ = (a + b).(a³ – a²b + ab² – b³)
a⁴ – b⁴ = (a² + b²).(a + b).(a – b)

a⁵ + b⁵ = (a + b).(a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)
a⁵ – b⁵ = (a – b).(a⁴ + a³b + a² b² + ab³ + b⁴)

a⁶ + b⁶ = (a + b).(a⁵ – a⁴b + a³ b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵)
a⁶ – b⁶ = (a – b).(a² + ab + b²).(a+ b).(a² + ab + b²)

a⁷ + b⁷ = (a + b).(a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)
a⁷ – b⁷ = (a – b).(a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

x² + y² = (x + y)² – 2xy
x² + y² = (x – y)² + 2xy
(x – y)² = (x + y)² – 4xy
(x + y)² = (x – y)² + 4xy
x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)
x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)
x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

1)       Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.   Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır

2)       Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :   Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,   üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

3)       Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :   Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir    a² + 2ab + b² = (a + b)²,         a² – 2ab + b² = (a – b)²

4)       İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :  Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu  Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.       a² – b² = (a + b) (a – b)

5)       İki Küp Toplamı – Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:  a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) ,  a³ –  b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

6)        xⁿ +yⁿ   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:    

a)  x⁴ + 1  =  (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

b)  x⁴ – 1  = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

c)  x⁵ + 2⁵ =  (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

d)  x⁵ – 1  =  (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

7)       Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare  ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

a)  x⁴ + 1  =  (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

b)  x⁴ – 1  = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

8) ax² + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

ax² + bx + c = (mx + p) (nx + q)

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)